如何判断线性相关
常识与定义法
如何判断向量组的线性相关性
在线性代数中，判断向量组的线性相关性是一个基础而重要的问题。通过定义法可以简单地进行判断：对于一个向量组，如果存在不全为零的系数使得线性组合为零，则这个向量组是线性相关的；反之，若只有当所有系数均为零时线性组合才为零，则该向量组是线性无关的。
向量组的相关性质
1. 当向量组中的向量个数等于向量的维数时，若该向量组构成的行列式不为零，则这个向量组是线性无关的。
2. 当向量组中的向量个数多于向量的维数时，这个向量组一定是线性相关的。
3. 可以通过向量组的正交性来研究向量组的相关性。
4. 通过解向量组构成的齐次线性方程组可以判断向量组的线性相关性。
5. 通过向量组的秩也可以推断向量组的相关性。
案例分析：判别向量组线性相关性
给定向量组$a_1(1,2,-1,5)$，$a_2(2,-1,1,1)$，$a_3(4,3,-1,11)$，我们需要判断这个向量组是否线性相关。
解析过程如下：
令$Aa_1 Ba_2 Ca_3 0$，
即 $A(1,2,-1,5) B(2,-1,1,1) C(4,3,-1,11) (0,0,0,0)$，
展开得到以下方程组：
1. $A 2B 4C 0$
2. $2A - B - C 0$
3. $-A B - C 0$
4. $5A B 11C 0$
若$A$、$B$、$C$的解不全为零，则这个向量组是线性相关的。通过求解方程组，可以得出结论。
通过以上分析，我们可以利用定义法和相关性质来判断向量组的线性相关性，这对于解决线性代数中的问题具有指导意义。